MỤC LỤC  I      1  Chương 3.   NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG   2   1      NGUYÊN HÀM   2  A A   KIẾN THỨC TRỌNG TÂM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   2  1. Nguyên hàm và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   2  1.1   Nguyên hàm   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2   Tính chất   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2  2. Phương pháp tính nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   3  2.1   Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số   . . . . . . . . . . . 3 2.2   Phương pháp tính nguyên hàm từng phần . . . . . . . . . . . . 3 2.3   Bảng nguyên hàm cơ bản   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.4   Bảng nguyên hàm mở rộng   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4  B B   CÁC DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   5  |   Dạng 1.1: Tính nguyên hàm bằng bảng nguyên hàm   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   5  |   Dạng 1.2: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   62  |   Dạng 1.3: Nguyên hàm từng phần   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   100  C C   CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   116  1. Mức độ nhận biết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   116  Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   133  2. Mức độ thông hiểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   134  Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   151  3. Mức độ vận dụng thấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   151  Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   165  4. Mức độ vận dụng cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   165  Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   170   2      TÍCH PHÂN   171  A A   KIẾN THỨC TRỌNG TÂM   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   171  1. Khái niệm tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   171  1.1      . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171MỤC LỤC ii   |   Page  1.2   Tính chất của tích phân   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171  2. Phương pháp tính tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   171  2.1   Phương pháp đổi biến số   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 2.2   Phương pháp tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . 172  B B   CÁC DẠNG TOÁN BÀ BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   172  |   Dạng 2.4: Tích phân cơ bản và tính chất tính phân   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   172  |   Dạng 2.5: Tích phân hàm số phân thức hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   184  |   Dạng 2.6: Tính chất của tích phân   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   190  |   Dạng 2.7: Tích phân hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối  b   a  |   f   ( x )   |   d x   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   220  |   Dạng 2.8: Phương pháp đổi biến số   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   224  |   Dạng 2.9: Tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   303  C C   CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   340  1. Mức độ nhận biết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   340  Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   352  2. Mức độ thông hiểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   353  Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   385  3. Mức độ vận dụng thấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   386  Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   423  4. Mức độ vận dụng cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   425  Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   444   3         445  A A   KIẾN THỨC TRỌNG TÂM   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   445  1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   446 2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   448 3. Tính thể tích khối tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   450  B B   CÁC DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   452  |   Dạng 3.10: Diện tích hình phẳng   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   452  |   Dạng 3.11: Tìm vận tốc, gia tốc, quãng đường trong vật lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   462  |   Dạng 3.12: Thể tích của vật thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   470  |   Dạng 3.13: Tính thể tích của vật thể tròn xoay   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   474  C C   CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   484  1. Mức độ nhận biết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   484   Biên soạn: Những nẻo đường phù sa   ii

Chuyên đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

MỤC LỤC   1      NGUYÊN HÀM   1  |   Dạng 1.1: Sử dụng nguyên hàm cơ bản   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   1  |   Dạng 1.2: Nguyên hàm có điều kiện   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   6  |   Dạng 1.3: Phương pháp đổi biến số   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   10  |   Dạng 1.4: Phương pháp từng phần   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   141.   NGUYÊN HÀM   NGUYÊN HÀM NGUYÊN HÀM  1  C  h      p   Dạng 1.1. Sử dụng nguyên hàm cơ bản  1    d x   =   x   +   C   2    k d x   =   kx   +   C  3    x n d x   =   x n +1  n   + 1 +   C   4    ( ax   +   b ) n   d x   = 1  a  ( ax   +   b ) n +1  n   + 1   +   C  5     d x x 2   =      1  x   +   C   6     d x  ( ax   +   b ) 2   =      1  a.   1  ax   +   b   +   C  7     d x x   = ln   | x |   +   C   8     d x ax   +   b   = 1  a   ln   | ax   +   b |   +   C  9    e x d x   = e x   +   C   10    e ax + b d x   = 1  a   e ax + b   +   C  11    a x d x   =   a x  ln   a   +   C   12    a  +    d x   = 1   a  +   ln   a   +   C  13    cos   x d x   = sin   x   +   C   14    cos( ax   +   b )d x   = 1  a   sin( ax   +   b ) +   C  15    sin   x d x   =      cos   x   +   C   16    sin( ax + b )d x   =      1  a   cos( ax + b )+ C  17     d x  cos 2   x   = tan   x   +   C   18     d x  cos 2 ( ax   +   b ) = 1  a   tan( ax   +   b ) +   C  19     d x  sin 2   x   =      cot   x   +   C   20     d x  sin 2 ( ax   +   b ) =      1  a   cot( ax + b )+ C  21    tan   x d x   =      ln   | cos   x |   +   C   22    tan( ax   +   b )d x   =      1  a   ln   | cos   x |   +   C  23    cot   x d x   = ln   | sin   x |   +   C   24    cot( ax   +   b )d x   = 1  a   ln   | sin   x |   +   C  25     1  x 2      a 2   d x   =   1 2 a   ln       x      a x   +   a        +   C   26     1  x 2   +   a 2   d x   = 1  a   arctan   x a   +   C  Câu 1.   Họ các nguyên hàm của hàm số   f   ( x ) = 5 x 4      6 x 2   + 1   là  A .   20 x 3      12 x   +   C .   B .   x 5      2 x 3   +   x   +   C .  C .   20 x 5      12 x 3   +   x   +   C .   D .   x 4  4 + 2 x 2      2 x   +   C .  |   Lời giải.  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  Câu 2.   Họ nguyên hàm của hàm số   f   ( x ) =   x 3   +   x 2   là  A .   x 4  4 +   x 3  3 +   C .   B .   x 4   +   x 3 .   C .   3 x 2   + 2 x .   D .   1 4 x 4   + 1 4   x 3 .  |   Lời giải.  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  Câu 3.   Nguyên hàm của hàm số   f   ( x ) = 4 x 3   +   x      1   là:  A .   x 4   +   x 2   +   x   +   C .   B .   12 x 2   + 1 +   C .   C .   x 4   + 1 2   x 2      x   +   C .   D .   x 4      1 2 x 2      x   +   C .  |   Lời giải.  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   Biên soạn: Những nẻo đường phù sa   1

Bài tập nguyên hàm dành cho học sinh trung bình – yếu

CĐ:   PP TÌM NGUYÊN HÀM   HOÀNG TUYÊN      MINH TÂM  TÀI LIỆU TỰ HỌC K12   Trang | 1  5 DẠNG TOÁN NGUYÊN HÀM  MÔN   TOÁN      KH  I 12  CHINH PHỤC KỲ THI THPT QUỐC GIA  205 CÂU HỎI  PHẦN 1  TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ  NĂM H  C: 2020      2021CĐ:   PP TÌM NGUYÊN HÀM   HOÀNG TUYÊN      MINH TÂM  TÀI LIỆU TỰ HỌC K12   Trang | 2  MỤC LỤC     DẠNG TOÁN 1: TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG BẢNG NGUYÊN HÀM ......................................... 4  DẠNG 1.1: ÁP DỤNG BẢNG NGUYÊN HÀM (KHÔNG CÓ ĐIỀU KIỆN) ........................................4  DẠNG 1.2 ÁP DỤNG BẢNG NGUYÊN HÀM TÌM NGUYÊN HÀM CÓ ĐIỀU KIỆN .....................26     DẠNG TOÁN 2: TÌM NGUYÊN HÀM THEP PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN................................. 37  DẠNG 2.1: TÌM NGUYÊN HÀM THEO PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN (KHÔNG CÓ ĐIỀU KIỆN) ...37  DẠNG 2.1 TÌM NGUYÊN HÀM THEO PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN (KHÔNG CÓ ĐIỀU KIỆN) ....41     DẠNG TOÁN 3: TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN .............................. 44  DẠNG 3.1: TÌM NGUYÊN HÀM THEO PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ (KHÔNG CÓ ĐIỀU KIỆN)  ..................................................................................................................................................................44  DẠNG 3.2: TÌM NGUYÊN HÀM THEO PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ (CÓ ĐIỀU KIỆN) ...........50     DẠNG TOÁN 4: TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN......................... 53  DẠNG 4.1: TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PP TỪNG PHẦN (KHÔNG CÓ ĐIỀU KIỆN) ...................53  DẠNG 4.2: TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PP TỪNG PHẦN (CÓ ĐIỀU KIỆN) ..................................60     DẠNG TOÁN 5: SỬ DỤNG NGUYÊN HÀM ĐỀ GIẢI TOÁN...................................................... 64

5 dạng toán nguyên hàm thường gặp

CĐ:      HOÀNG TUYÊN      MINH TÂM  TÀI LIỆU TỰ HỌC K12   Trang | 1    MÔN TOÁN – KHỐI 12  CHINH PH  C K    THI THPT QU  C GIA  CÂU HỎI   &   LỜI GIẢI CHI TIẾT  TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ  NĂM HỌC: 2020 – 2021CĐ:      HOÀNG TUYÊN      MINH TÂM  TÀI LIỆU TỰ HỌC K12   Trang | 2  MỤC LỤC     DẠNG TOÁN 1: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG .................3  Dạng 1.1: Ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng (không có điều kiện) .................................3  Dạng 1.2: Ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng (có điều kiện) ..........................................28     DẠNG TOÁN 2: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY .......54  Dạng 2.1: Ứng dụng của tích phân tính thể tích khối tròn xoay (không có điều kiện) ...........................54  Dạng 2.2: Ứng dụng của tích phân tính thể tích khối tròn xoay (có điều kiện).......................................68     DẠNG TOÁN 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG .......73  Dạng 3.1: Bài toán cho biết hàm số của vận tốc, quãng đường của chuyển động...................................73  Dạng 3.2: Bài toán cho biết đồ thị của vận tốc, quãng đường của chuyển động .....................................83     DẠNG TOÁN 4: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC THẾ89  Dạng 4.1: Bài toán liên quan đến diện tích ..............................................................................................89  Dạng 4.2: Bài toán liên quan đến thể tích ..............................................................................................102     DẠNG TOÁN 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ .....117

5 dạng toán ứng dụng của tích phân thường gặp

TOANMATH.com   Trang 1  CHUYÊN ĐỀ 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN   V   BÀI 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN  Mục tiêu     Kiến thức  +   Nắm vững công thức tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay.  +   Ghi nhớ các kiến thức cơ bản về phương trình đường thẳng, parabol, đường tròn và elip.  +   Nắm được định nghĩa, tính chất và các phương pháp tính tích phân.     Kĩ năng  +   Hiểu rõ các ứng dụng của tích phân để vận dụng vào việc tính diện tích hình phẳng và thể tích  của các vật thể, cũng như vật thể tròn xoay.  +   Lập được phương trình đường thẳng, parabol, đường tròn và elip để xử lí các bài toán liên  quan.  +   Tính được diện tích hình phẳng, thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay trong các trường hợp  cụ thể.TOANMATH.com   Trang 2  A. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG  I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM  Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành  Diện tích hình   phẳng       H   giới   hạn bởi đồ thị hàm số      y   f   x    liên tục trên đoạn       ; a b   , trục hoành và hai đường  thẳng   x   a    ,   x   b    (với   a   b    ) được xác định theo công thức:       b  a  S   f   x   dx      Chú ý  Nếu       f   x   không đổi dấu trên đoạn       ; a b   thì             b   b  a   a  S   f   x   dx   f   x dx                   0 f   x      có nghiệm duy nhất   x   c    thuộc  khoảng       ; a b   thì                   b   c   b  a   a   c  S   f   x   dx   f   x   dx   f   x   dx                           c   b  a   c  f   x dx   f   x dx                   0 f   x      có hai nghiệm   1   2 c   c    thuộc  khoảng       ; a b   thì                         1   2  1   2  c   c b   b  a   c   c   c  S   f   x   dx   f   x dx   f   x dx   f   x dx                      Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong  Diện tích hình phẳng       H   giới hạn bởi đồ thị hai hàm số      1 C   :       y   f   x    ,       2 C   :       y   g   x    liên tục trên đoạn       ; a b   và  hai đường thẳng   x   a    ,   x   b    (với   a   b    ) được xác định theo  công thức:             b  a  S   f   x   g   x   dx       Phần tô màu đen chính là diện tích hình  phẳng   giới   hạn   bởi      thị   hàm   số      y   f   x    liên tục trên đoạn       ; a b   , trục  hoành và hai đường thẳng   x   a    ,   x   b   (với   a   b    ) .       Nếu         0 f   x      ,       ; x   a b    thì             b   b  a   a  S   f   x   dx   f   x dx             Nếu         0 f   x      ,       ; x   a b    thì             b   b  a   a  S   f   x   dx   f   x dx          Phần   gạch   chéo   trong   hình   là   hình  phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số      1 C   :       y   f   x    ;       2 C   :       y   g   x   liên tục trên đoạn       ; a b   và hai đường

Bài giảng ứng dụng của tích phân

1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH  TRƯỜNG THCS-THPT HOA SEN  NĂM HỌC 2020-2021    TRONG CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾBÀI TOÁN THỰC TẾ VỀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN  MỤC LỤC  A   BÀI TOÁN THỰC TẾ VỀ VẬN TỐC QUÃNG ĐƯỜNG   3 B   BÀI TOÁN THỰC TẾ VỀ DIỆN TÍCH   23 C   BÀI TOÁN THỰC TẾ VỀ THỂ TÍCH   51  2

Ứng dụng tích phân trong các bài toán thực tế

1  THÂN TẶNG QUÝ THẦY CÔ VÀ CÁC EM HỌC SINH TOÀN QUỐC  HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHUYÊN ĐỀ  NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN CƠ BẢN LỚP 12 THPT  CREATED BY GIANG S  N; TEL 0333275320  TP.THÁI BÌNH; 20/11/2021  TOÀN T  P  NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN   CƠ BẢN  PHIÊN B  N 20212  TOÀN TẬP  NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN CƠ BẢN  __________________________________________________________________________________________________  NGUYÊN HÀM     CƠ BẢN NGUYÊN HÀM ĐA THỨC + PHÂN THỨC HỮU TỶ P1     CƠ BẢN NGUYÊN HÀM ĐA THỨC + PHÂN THỨC HỮU TỶ P2     CƠ BẢN NGUYÊN HÀM ĐA THỨC + PHÂN THỨC HỮU TỶ P3     CƠ BẢN NGUYÊN HÀM VÔ TỶ P1     CƠ BẢN NGUYÊN HÀM VÔ TỶ P2     CƠ BẢN NGUYÊN HÀM HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC P1     CƠ BẢN NGUYÊN HÀM HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC P2     CƠ BẢN NGUYÊN HÀM HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC P3     CƠ BẢN NGUYÊN HÀM HÀM SỐ SIÊU VIỆT P1     CƠ BẢN NGUYÊN HÀM HÀM SỐ SIÊU VIỆT P2     CƠ BẢN NGUYÊN HÀM HÀM SỐ SIÊU VIỆT P3     CƠ BẢN NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN P1     CƠ BẢN NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN P2     CƠ BẢN NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN P3     TỔNG HỢP CƠ BẢN NGUYÊN HÀM P1     TỔNG HỢP CƠ BẢN NGUYÊN HÀM P2     TỔNG HỢP CƠ BẢN NGUYÊN HÀM P3     TỔNG HỢP CƠ BẢN NGUYÊN HÀM P4     TỔNG HỢP CƠ BẢN NGUYÊN HÀM P5     TỔNG HỢP CƠ BẢN NGUYÊN HÀM P6     TỔNG HỢP CƠ BẢN NGUYÊN HÀM P7     TỔNG HỢP CƠ BẢN NGUYÊN HÀM P8     TỔNG HỢP CƠ BẢN NGUYÊN HÀM P9     TỔNG HỢP CƠ BẢN NGUYÊN HÀM P10     TỔNG HỢP CƠ BẢN NGUYÊN HÀM P11

Toàn tập nguyên hàm và tích phân cơ bản

TUY  N T  P TÍCH PHÂN  (    T)  BIÊN SO  N: L  U HUY TH  NG  Toàn b    tài li  u c  a th  y      trang: http://www.Luuhuythuong.blogspot.com  HÀ N  I, 4/2014  H    VÀ TÊN: ........................................................................... L  P   :............................................................................ TR  NG   :...........................................................................GV. L  u Huy Th  ng   0968.393.899  B    H  C VÔ B    - CHUYÊN C  N S     N B  N   Page 1  TÍCH PHÂN CƠ BẢN  Toàn b    tài li  u luy  n thi    i h  c môn toán c  a th  y L  u Huy Th  ng:  http://www.Luuhuythuong.blogspot.com  HT 1.Tính các tích phân sau:  a)  1 3 1  0  I   x dx =      b)  1 3 2  0  (2   1) I   x   dx =   +    c)  1 3 3  0  (1   4 ) I   x   dx =      d)  1 2   3 4  0  (   1)(   2   5) I   x   x   x   dx =         +    e)  1 2   3 5  0  (2   3)(   3   1) I   x   x   x   dx =         +   Bài giải a)  1   4 3   1 1   0  0  1  4   4  x I   x dx =   =   =   b)  1 3 2  0  (2   1) I   x   dx =   +    Chú ý:   1  (2   1)   2   (2   1)  2  d   x   dx   dx   d   x +   =      =   +  1   1   4 3   3   1 2   0  0   0  (2   1) 1   1   81   1  (2   1)   (2   1)   (2   1)   10  2   2   4   8   8  x I   x   dx   x   d   x   +    =   +   =   +   +   =   =      =      c)  1 3 3  0  (1   4 ) I   x   dx =       Chú ý:   1  (1   4 )   4   (1   4 )  4  d   x   dx   dx   d   x    = −      = −     1   1   4 3   3   1 3   0  0   0  (1   4 ) 1   1   81   1  (1   4 )   (1   4 )   (1   4 )   5  4   4   4   16   16  x I   x   dx   x   d   x        =      = −         = −   = −   +   = −      d)  1 2   3 4  0  (   1)(   2   5) I   x   x   x   dx =         +    Chú ý:   2   2 1  (   2   5)   (2   2)   (   1)   (   2   5)  2  d x   x   x   dx   x   dx   d x   x    +   =            =      +  1   1 2   3   2   3   2 4  0   0  1  (   1)(   2   5)   (   2   5)   (   2   5)  2  I   x   x   x   dx   x   x   d x   x    =         +   =      +      +      2   4   1 0  (   2   5) 1   615   671  .   162  2   4   8   8  x   x    + =   =      =

Phân dạng bài tập và lời giải chi tiết chuyên đề Tích phân – Lưu Huy Thưởng

Bài tập Tích phân   Trần Sĩ Tùng  Trang   4  TP2: TÍCH PHÂN HÀM SỐ VÔ TỈ  Dạng 1: Đổi biến số dạng 1  Câu 1. x I   dx x   x 2  3   9   1           x I   dx   x   x   x   dx   x dx   x   x   dx x   x  2   2   2 2   (3   9   1)   3   9   1 3   9   1                                     + I   x dx   x   C 2   3 1   1 3           + I   x   x   dx 2 2   9   1      x   d   x   x   C  3 2   2   2   2   2  1   1 9   1   (9   1)   (9   1) 18   27                     I   x   x   C  3 2   3 2 1 (9   1) 27             Câu 2. x   x I   dx x   x  2  1         x   x dx x   x  2  1      x   x dx   dx x   x   x   x  2  1   1                 .  + x I   dx x   x  2 1  1        . Đặt t = x   x   t   x   x 2  1   1           x   t 3   2   2  (   1)        x dx   t t   dt 2   2 4 (   1) 3           t   dt   t   t   C 2   3 4   4   4 (   1) 3   9   3               =     x   x   x   x   C  3 1  4   4 1   1 9   3             + x I   dx x   x  2  1        = d   x   x x   x  2   (1   ) 3   1        = x   x   C 2  4   1 3        Vậy:     I   x   x   C  3  4   1 9          Câu 3. x I   dx x  4 0  2   1 1   2   1                 t   x 2   1       . I = t   dt t  3   2 1  2   ln 2 1           .  Câu 4. dx I   x   x  6 2   2   1   4   1                   t   x 4   1       . I   3   1 ln 2   12       Câu 5. I   x   x dx  1   3   2 0  1           t   x 2  1           I   t   t   dt  1   2   4 0  2 15            .  Câu 6. x I   dx x  1 0  1 1              t   x    dx   t dt 2 .    . I = t   tdt t  1   3 0  2   1       = t   t   dt t  1   2 0  2 2   2   1                         = 11   4 ln 2 3      .  Câu 7. x I   dx x   x  3 0  3 3   1   3              Trần Sĩ Tùng   Bài tập   Tích phân  Trang   5      t   x   tdu   dx 1   2             t   t I   dt   t   dt   dt t t   t  2   2   2 3 2 1   1   1  2   8   1 (2   6)   6   1 3   2                            3 3   6 ln 2       Câu 8. I   x   x   dx  0   3 1  .   1              t   t t   x   t   x   dx   t dt   I   t   dt  1 1   7   4 3   2   3 3 0 0  9 1   1   3   3(   1)   3   7   4   28                                                     Câu 9. x I   dx x   x  5   2 1  1 3   1              tdt t   x   dx   2 3   1   3              t tdt I   t   t  2 2 4 2 2  1   1 3   2 .   3 1. 3                            dt t   dt   t  4   4 2 2 2   2  2   (   1)   2 9   1                 t t   t   t  3   4   4 2   1   1   100   9 ln   ln   . 9   3   1   27   5 2   2                                  Câu 10. x   x I   dx x  3   2 0  2   1 1                 x   t   x   t 2  1   1                dx   tdt 2    t   t   t I   tdt   t   t   dt   t t  2 2   2 2   2   2   5 4   2   3 1 1   1  2(   1)   (   1)   1   4   54 2   2 (2   3   )   2 5   5                                             Câu 11. x dx I   x   x  1   2 0  2 (   1)   1                t   x   t   x   tdt   dx 2  1   1   2                    t   t I   tdt   t   dt   t t   t t  2 2 2   2 2   2   3 3   1 1   1  (   1)   1   1   16   11 2 .2   2   2   2 3   3                                                           Câu 12.      x I   dx x  4 2 0  1 1   1   2               dx t   x   dt   dx   t   dt x  1   1   2   (   1) 1   2                           và t   t x  2   2 2     Ta có :   I = t   t   t   t   t   t dt   dt   t   dt t t   t   t  4   4   4 2   3   2 2   2   2 2   2   2  1   (   2   2)(   1)   1   3   4   2   1   4   2 3 2   2   2                                                    = t   t   t   t  2  1   2 3   4 ln 2   2                           = 1 2 ln 2   4    Câu 13. x I   dx x  8 2 3  1 1      

35 bài tập Tích phân chứa căn thức có lời giải – Trần Sĩ Tùng

Hoàng Văn Bì   nh  NGUYÊN HÀM      TÍCH PHÂN  Bài 1. NGUYÊN HÀM I.   Lý thuy  t  1.   Nguyên hàm            f   x dx   F   x   C       2.   Tính ch  t -                ' f   x dx   f   x     và            f   x dx   f   x   C       -            . k f   x dx   k   f   x dx           0 k     -                        f   x   g x   dx   f   x dx   g x dx                        3.   B  ng nguyên hàm      kdx   kx   C   k   const              1  1 1  x x dx   C                   1  1  u u dx   C                1   ln dx   x   C x        1   ln dx   u   C u        x   x  e dx   e   C      u   u  e dx   e   C      ln  x x   a a dx   C a       ln  u u   a a dx   C a       cos   sin xdx   x   C      cos   sin udx   u   C      sin   cos xdx   x   C      sin   cos udx   u   C      2  1   tan cos   dx   x   C x        2  1   tan cos   dx   u   C u        2  1   cot sin   dx   x   C x        2  1   cot sin   dx   u   C u        2   2   2 2   2   arcsin 2   2  a   x   x   a   x a   x dx   C a              2   2  1   arcsin   x   C a a   x          2   2  1 ln 2  dx   a   x   C a   x   a   a   x            2   2  1 arctan  dx   x   C a   x   a   a        2   2   2   2   2   2  ln 2   2  x   a x   a dx   x   a   x   x   a   C                     2 2   ln  dx   x   x   k   C x   k               Hoàng Văn Bì   nh  4.   Các phương pháp tìm nguyên hàm  a.   Phương pháp đổ i bi  n s   N  u            f   x dx   F   x   C        thì                       . ' f   u x   u   x   dx   F u x   C                t            ' t   u x   dt   u   x dx          . Khi đó            f   t dt   F t   C   F u x   C                     Cách đặ t bi  n: D  t bi  ng      f   ax   b dx        t t   ax   b          f   x dx x        t t   x       1   . n  f   x   xdx         t 1 n  t   x           sin   cos f   x   xdx       t sin t   x       cos   sin f   x   xdx       t cos t   x       tan f   x dx       t tan t   x       cot f   x dx       t cot t   x       ln f   x   dx x        t ln t   x       x   x  f   e   e dx       t x  t   e   D  ng giác: 2   2 2   2 2   2  tant 1 cot 1  a   x x   a x   a   t a   x a   x                                   2   2 2   2  sin 1   cos  a   x   x   a   t x   a   t a   x                            2   2 2   2  sin 1 cos  a x   a   x   t a x x   a   t                                     Sau khi tìm đượ c nguyên hàm theo t   thì ta thay ngượ c l  i vào      f   x   . b.   Phương pháp nguyê n hàm t  ng ph  n

Giải nhanh nguyên hàm, tích phân và ứng dụng bằng máy tính Casio – Hoàng Văn Bình

ST&BS: Th.S Đ  ng Vi  t Đông Trư  ng THPT Nho Quan A   Nguyên Hàm - Tích Phân -  ng D  ng  File Word liên h  : 0978064165   -   Email:   dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com   Trang   0  Facebook: https://www.facebook.com/dongpay   -   K   y Đ  ng Vi  t ĐôngST&BS: Th.S Đ  ng Vi  t Đông Trư  ng THPT Nho Quan A   Nguyên Hàm - Tích Phân -  ng D  ng  File Word liên h  : 0978064165   -   Email:   dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com   Trang   1  Facebook: https://www.facebook.com/dongpay   -   K   y Đ  ng Vi  t Đông  M  C L  C  NGUYÊN HÀM  ................................ ................................ ................................ ................................ ......  2  PHƯƠNG PHÁP NGUYÊM HÀM Đ  I BI  N S   ................................ ................................ ...............  6  PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM T  NG PH  N   ................................ ................................ ..............  10  NGUYÊN HÀM HÀM    N   ................................ ................................ ................................ ...................  14  TÍCH PHÂN   ................................ ................................ ................................ ................................ .........  18  S    D  NG Đ  NH NGH   T VÀ TÍCH PHÂN CƠ B  N ................................ ................  26  PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN Đ  I BI  N S    ................................ ................................ ...................  31    I BI  N S    D  NG 1   ................................ ................................ ................................ ....................  31    I BI  N S    D  NG 2   ................................ ................................ ................................ ....................  38  TÍCH PHÂN HÀM    N   PHƯƠNG PHÁP Đ  I BI  N   ................................ ................................ ........  38  TÍCH PHÂN HÀM    N Đ  I BI  N D  NG 1   ................................ ................................ ...................  38  TÍCH PHÂN HÀM    N Đ  I BI  N D  NG 2   ................................ ................................ ...................  41  TÍCH PHÂN HÀM    N Đ  I BI  N D  NG 3   ................................ ................................ ...................  43  TÍCH PHÂN HÀM    N Đ  I BI  N D  NG 4   ................................ ................................ ...................  45  TÍCH PHÂN HÀM    N Đ  I BI  N D  NG 5   ................................ ................................ ...................  46  TÍCH PHÂN HÀM    N Đ  I BI  N D  NG 6   ................................ ................................ ...................  47  TÍCH PHÂN T    ................................ ................................ ................................ .................  49  TÍCH PHÂN T  NG PH  N   D  NG 1:   ................................ ................................ .............................  49  TÍCH PHÂN T  NG PH  N   D  NG 2:   ................................ ................................ .............................  50  TÍCH PHÂN HÀM      ................................ ................................ ...  51  TÍCH PHÂN HÀM    N   ................................ ................................ ................................ ........................  58  GTLN, GTNN, BĐT   -   TÍCH PHÂN   ................................ ................................ ................................ ....  65   NG D  NG TÍNH DI  N TÍCH  ................................ ................................ ................................ ..........  70   NG D  NG TÍCH PHÂN V  I HÀM S    ................................ ................................ ..........................  83   NG D  NG TH    TÍCH  ................................ ................................ ............  Error! Bookmark   not defined.  BÀI TOÁN T H  C T    VÀ    NG D  NG DI  N TÍCH  ..............................  Error! Bookmark not defined.  BÀI TOÁN TH  C T    VÀ    NG D  NG TH    TÍCH   ...............................  Error! Bookmark not defined.   NG D  NG TH  C T    KHÁ C  ................................ ................................ .  Error! Bookmark not defined.

Trắc nghiệm VD – VDC nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Đặng Việt Đông

BÀI 2: TÍCH PHÂN A. KI  N TH  C C    B  N C  N N  M I.    NH NGH  A VÀ TÍNH CH  T C  A TÍCH PHÂN 1.    nh ngh  a tích phân   nh ngh  a  Cho hàm s        f   x   liên t  c trên    o  n       ; a b   , v  i . a   b   N  u       F   x   là nguyên hàm c  a hàm s        f   x   trên   o  n       ; a b   thì giá tr              F b   F   a     c g  i là tích phân c  a hàm s        f   x   trên    o  n       ; a b   . Kí hi  u                          b   b a a f   x dx   F   x   F b   F   a           (1) Công th  c (1) còn    c g  i là công th  c Newton – Leibnitz;   a   và   b    c g  i là c  n d  i và c  n trên c  a tích phân.    a hình h  c c  a tích phân  Gi    s    hàm s        y   f   x    là hàm s    liên t  c và không     o  n       ; a b   . Khi            b a f   x dx   chính là di  n tích hình ph  ng gi  i h  n b  i    ng cong       y   f   x    , tr  c hoành   Ox   và hai    ng th  ng ,   , x   a x   b       v  i   . a   b        b a S   f   x dx      Ch  ng h  n:         3  F   x   x   C       là m  t nguyên hàm c  a hàm s          2 3 f   x   x    nên tích phân                      1   1 0 0 1   0 f   x dx   F   x   F   F                   3   3 1   0   1. C   C               L  u ý:   Giá tr    c  a tích phân không ph   thu  c vào h  ng s    C. Trong tính toán, ta th  ng ch  n   0. C     Ch  ng h  n:   Hàm s          2   2   1 f   x   x   x          có     th        C   và             2 1   0 f   x   x          ,   v  i x          .  Di  n tích “tam giác cong” gi  i h  n b  i       C , tr  c Ox và hai    ng th  ng   1 x      và  1 x      là              1   1 2 1   1 2   1 S   f   x dx   x   x   dx                     3   1 2 1 8 . 3   3  x   x   x                           L  u ý:   Ta còn g  i hình ph  ng trên là “hình thang cong”.2. Tính ch  t c    b  n c  a tích phân  Cho hàm s        f   x   và       g   x   là hai hàm s    liên t  c trên kho  ng   K , trong       K   có th    là kho  ng, n  a kho  ng ho  c    o  n và   ,   ,   , a b c   K    khi      a.   N  u   b   a    thì         0  a a f   x dx      b.   N  u       f   x   có    o hàm liên t  c trên    o  n       ; a b  thì ta có:                         b   b a a f   x dx   f   x   f   b   f   a             c.   Tính ch  t tuy  n tính                        .   .   .  b   b   b a   a   a k f   x   h g   x   dx   k   f   x dx   h   g   x dx                        V  i m  i   ,   . k h        d.   Tính ch  t trung c  n                   b   c   b a   a   c f   x dx   f   x dx   f   x dx              , v  i       ; c   a b   e .    o c  n tích phân             a   b b   a f   x dx   f   x dx       f.   N  u         0, f   x          ; x   a b    thì         0  b a f   x dx       và        0  b a f   x dx       khi         0 f   x      .  g.   N  u                   ,   ; f   x   g   x   x   a b       thì  Ch  ng h  n:   Cho hàm s        f   x   liên t  c, có   o   hàm   trên    o  n       1; 2    th  a   mãn      1   8 f         và       2   1. f        Khi                             2   2 1 1 2   1   9 f   x dx   f   x   f   f                      L  u ý:   T       ng có                   b a f   b   f   a   f   x dx          và                    b a f   a   f   b   f   x dx        

Các dạng bài tập VDC tích phân và một số phương pháp tính tích phân

CH  NG 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ    NG D  NG BÀI 1: NGUYÊN HÀM VÀ PH  NG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM A. KI  N TH  C C    B  N C  N N  M I. NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CH  T 1. Nguyên hàm   nh ngh  a:   Cho hàm s        f x   xác    nh trên   K   (   K   là kho  ng ho  c    o  n ho  c n  a    o  n c  a  ).    Hàm s        F x    c g  i là nguyên hàm c  a hàm s        f x   trên K n  u             F    x   f x    v  i m  i   x   K.    nh lý 1:   N  u       F x   là m  t nguyên hàm c  a hàm s        f x   trên   K   thì v  i m  i h  ng s    C, hàm s             G x   F x   C       c  ng là m  t nguyên hàm c  a       f x   trên   K.   nh lý 2:   N  u       F x   là m  t nguyên hàm c  a hàm s        f x   trên   K   thì m  i nguyên hàm c  a       f x   u có d  ng       F x   C,    v  i   C   là m  t h  ng s  .  Hai    nh lý trên cho th  y:  N  u       F x   là m  t nguyên hàm c  a hàm s        f x   trên   K   thì       F x   C,C          là h    t  t c    các nguyên hàm c  a       f x   trên   K.   Kí hi  u            f x dx   F x   C.       Chú      Bi  u   th  c       f x dx   chính   là   vi   phân   c  a   nguyên   hàm       F x   c  a       f x ,   vì                    dF x   F   x dx   f x dx.      2. Tính ch  t c  a nguyên hàm Tính ch  t 1            f      x dx   f x   C       Tính ch  t 2            kf x dx   k f x dx        , k là h  ng s    khác 0.  Tính ch  t 3                        f x   g x   dx   f x dx   g x dx.                        3. S    t  n t  i c  a nguyên hàm   nh lý 3:   M  i hàm s    f(x)   liên t  c trên K    u có nguyên hàm trên K.  4. B  ng nguyên hàm Nguyên hàm c  a hàm s   s    c  p Nguyên hàm c  a hàm s   h  p           u = u x  Nguyên hàm c  a hàm s    h  p       u = ax + b;a   0  dx   x   C        du   u   C            d ax   b   ax   b   C                 1 1 1  x x dx   C                       1 1 1  u u   C                              1 1 1  ax   b ax   b   dx   C a                   1   ln dx   x   C x          1   ln du   u   C u          1   1 ln dx   ax   b   C ax   b   a            2 1   1  dx   C x   x         2 1   1  du   C u   u                2 1   1   1 . dx   C a ax   b ax   b           2 3  xdx   x   x   C        2 3  udu   u   u   C             1 2 . 3  ax   bdx   ax   b   ax   b   C a                 1   2 dx   x   C x          1   2 du   u   C u          1   1 .2 dx   ax   b   C a ax   b             x   x e dx   e   C        u   u e du   e   C        2 ax   b   ax   b e   dx   e   C a               0,   1 ln  x x   a a dx   C a   a a                   0,   1 ln  u u   a a du   C a   a a                    1 .   0,   1 ln  mx   n mx   n   a a   dx   C a   a m   a                  sin   cos xdx   x   C        sin   cos udu   u   C                      1 sin   cos ax   b dx   ax   b   C a              cos   sin xdx   x   C        cos   sin udu   u   C                   1 cos   sin ax   b dx   ax   b   C a              tan   ln cos xdx   x   C        tan   ln cos udu   u   C                      1 tan   ln cos ax   b dx   ax   b   C a              cot   ln sin xdx   x   C        cot   ln sin udu   u   C                   1 cot   ln sin ax   b dx   ax   b   C a              2 1   cot sin   dx   x   C x          2 1   cot sin   du   u   C u                       2 1   1 cot sin   dx   ax   b   C ax   b   a            2 1   tan cos   dx   x   C x          2 1   tan cos   du   u   C u                    2 1   1 tan cos   dx   ax   b   C ax   b   a            1   ln tan sin   2  x dx   C x          1   ln tan sin   2  u du   C u               1 ln tan sin   2  dx   ax   b   C ax   b   a          1   ln tan cos   2   4  x dx   C x                         1   ln tan cos   2   4  u du   C u                              1 cos 1 ln tan   2   4  dx ax   b ax   b   C a                          II. PH  NG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM 1. Ph  ng pháp    i bi  n s   nh lý 1:   N  u   f(u)du   F(u)   C        và   u   u(x)    có    o hàm liên t  c thì:

Các dạng bài tập VDC nguyên hàm và một số phương pháp tìm nguyên hàm

BÀI 3.    NG D  NG HÌNH H  C TÍCH PHÂN  A. KI  N TH  C SÁCH GIÁO KHOA C  N N  M I. DI  N TÍCH HÌNH PH  NG 1.    nh lý 1:   Cho hàm s    ( ) y   f   x    liên t  c, không âm trên     ; a b   . Khi      n tích S c  a hình thang cong gi  i h  n b  i      th    hàm s    ( ) y   f   x    , tr  c hoành và 2    ng th  ng   , x   a x   b       là:   ( )  b a S   f   x dx      2. Bài toán liên quan Bài toán 1:   Di  n tích hình ph  ng gi  i h  n b  i      th    hàm s    ( ) y   f   x    liên t  c trên    o  n       ; a b   , tr  c hoành và hai    ng th  ng   x   a    ,   x   b     c xác    nh:   ( )  b a S   f   x   dx      Bài toán 2:   Di  n tích hình ph  ng gi  i h  n b  i      th    hàm s    ( ) y   f   x    ,   ( ) y   g x    liên t  c trên    o  n      ; a b   và hai    ng th  ng   x   a    ,   x   b     c xác    nh:   ( )   ( )  b a S   f   x   g x   dx       Chú ý:   N  u trên    o  n   [ ;   ] a b   , hàm s    ( ) f   x   không    i d  u thì:   ( )   ( )  b   b a   a f   x   dx   f   x dx       Bài toán 3:   Di  n tích c  a hình ph  ng gi  i h  n b  i các    ng   (   ) x   g y    ,   (   ) x   h y    và hai    ng th  ng  y   c    ,   y   d     c xác    nh:   ( )   ( )  d c S   g y   h y   dy       Bài   toán   4:   Di  n   tích   hình   ph  ng   gi  i   h  n   b  i   2      th    1   1 (   ) :   ( ) C   f   x   ,   2   2 (   ) :   ( ) C   f   x   là: 2 1 ( )   ( )       x x S   f   x   g x dx   . Trong       1   2 , x   x   t  ng    ng là nghi  m c  a ph  ng trình       1   2 ( )   ( ),     f   x   g x   x   x  II. TH    TÍCH C  A KH  I TRÒN XOAY                      1   1 2   2 (   ) :   (   ) (   ) :   (   ) (   )  C   y   f   x C   y   f   x H   x   a x   b  1 (   ) C  2 (   ) C        b a S   f   x   f   x   dx 1   2 (   )   (   ) a   1 c y O   b   x 2  c1. Th    tích v  t th   G  i   B   là ph  n v  t th    gi  i h  n b  i hai m  t ph  ng vuông góc v  i tr  c   Ox   t  i các    i  m   a   và   b ; ( ) S x   là di  n tích thi  t di  n c  a v  t th    b    c  t b  i m  t ph  ng vuông góc v  i tr  c   Ox   t  i    i  m   x   , (   ) a   x   b       . Gi    s    ( ) S x   là hàm s    liên t  c trên    o  n   [ ;   ] a b   .  2. Th    tích kh  i tròn xoay Bài toán 1:   Th    tích kh  i tròn xoay    c sinh ra khi quay hình ph  ng gi  i h  n b  i các    ng ( ) y   f   x    , tr  c hoành và hai    ng th  ng   x   a    ,   x   b    quanh tr  c   Ox :  Bài toán 2:   Th    tích kh  i tròn xoay    c sinh ra khi quay hình ph  ng gi  i h  n b  i các    ng (   ) x   g y    , tr  c hoành và hai    ng th  ng   y   c    ,   y   d    quanh tr  c   Oy :  Bài toán 3:   Th    tích kh  i tròn xoay    c sinh ra khi quay hình ph  ng gi  i h  n b  i các    ng ( ) y   f   x    ,   ( ) y   g x    và hai    ng th  ng   x   a    ,   x   b    quanh tr  c   Ox :   2   2 ( )   ( )  b a V   f   x   g   x   dx          .  B. PHÂN LO  I VÀ PH  NG PHÁP GI  I BÀI T  P D  ng 1: Tính di  n tích gi  i h  n b  i 1      th   1. Ph  ng pháp: a/   Ph  ng pháp 1:  |   ( ) |  b a S   f   x   dx    

Các dạng bài tập VDC ứng dụng của tích phân

Các dạng bài tập VDC nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

http://hoc24h.vn   - LỜI NÓI ĐẦU   1  8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |   :     LỜI NÓI ĐẦU  Khi các em cầm trên tay cuốn sách này tức là các em đang rất quan tâm đến việc học của mình, chúc mừng tinh thần học tập đó của em! Có thể em chưa biết, tích phân là một mảng rất rộng và bao hàm nhiều dạng bài và phương pháp xử lý khác nhau. Đặc biệt khi lên đại học, những nghành liên quan đến kỹ thuật, chúng ta sẽ tiếp cận   Nguyên Hàm – Tích Phân    Tuy nhiên trong khuôn khổ kỳ thi THPT Quốc gia 2017, thầy đã chắt lọc cho các em trong cuốn sách này:      Dục     Nhiều ví dụ đa dạng và giải chi tiết theo hướng   Step by Step   (từng bước), dù là học sinh mất gốc vẫn có thể sử dụng cuốn sách này.          Kết hợp các phương pháp sử dụng máy tính Casio, Vinacal. Thầy tự tin khẳng định rằng, khi các em sử dụng thành thạo   8 kỹ thuật   trong cuốn sách này, việc đạt điểm tối đa chuyên đề   Nguyên Hàm – Tích Phân   là cực kỳ đơn giản!  Cách sử dụng sách  Bước 1:     Bước 2:     Bước 3:   Làm đề trắc nghiệm bên cạnh đồng hồ (Cố làm nhanh nhất có thể).  Chú ý:   Không được đọc phần bấm máy trước! Hãy nhuần nhuyễn giải tay trước, vì nhiều bài có khả năng bấm máy lâu hơn tính tay rất nhiều. Mặc dù thầy đã cố gắng hết sức, nhưng không tránh khỏi sai sót, mong các em đóng góp   Giáo viên  Nguyễn Tiến Đạt  Mọi góp ý gửi về: “ Trung tâm luyện thi Đại Học Tiến Đạt      Số 8 ngõ 17 Tạ Quang Bửu, HBT, Hà Nội | Liên hệ:   090.32888.66  Email:   tiendatnguyen2510@gmail.com   | Facebook:      ri thức không vô tình mà đạt được. Chúng ta phải tìm kiếm nó với sự nhiệt tình và đạt 

8 kỹ thuật đạt điểm tối đa nguyên hàm – tích phân – Nguyễn Tiến Đạt

Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc     124     Chuyeân ñeà 4 :   TÍCH PHAÂN     Vaán ñeà 1:  BIEÁN ÑOÅI VEÀ TOÅNG      HIEÄU CAÙC TÍCH PHAÂN CÔ BAÛN  A. PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI  Söû duïng ba tích chaát sau ñeå bieán ñoåi tích phaân caàn tính thaønh toång      hieäu caùc  tích phaân cô baûn  1/       b   b a   a  k.f(x)dx   k   f(x)dx   2/                    b   b   b a   a   a  f(x)   g(x) dx   f(x)dx   g(x)dx  3/             b   c   b a   a   c  f(x)dx   f(x)dx   f(x)dx  BAÛNG NGUYEÂN HAØM CÔ BAÛN  Nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sô caáp   Nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá hôïp  1.               dx   x   c;   kdx   kx   c  2.                1  x x dx   c, (   1) 1  3.        dx   ln x   c x  4.        x   x  e dx   e   c  5.              x x   a a dx   c   (0   a   1) ln a  6.      cosxdx   sin x   c  7.      sin xdx   cosx   c  8.        2  dx   tan x   c cos   x  9.        2  dx   cot x   c sin   x  10.      tan xdx   ln cosx   c  11.      cot xdx   ln sin x   c  (u   =   u(x))  1.                1  u u u'dx   c ; (   1) 1  2.        u' dx   ln u   c u  3.        u   u  e u'dx   e   c  4.              u u   a a u'dx   c (0   a   1) ln a  5.      u'cos udx   sin u   c  6.      u'sin udx   cos u   c  7.        2  u'   dx   tan u   c cos   u  8.        2  u'   dx   cot u   c sin   u  9.      u'tan udx   ln cos u   c  10.      u'cot udx   ln sin u   cTT Luy  i H  N  125                            1 f(x)dx   F(x)   c   f(ax   b)dx   F(ax   b)   c a  1.                 1  1 (ax   b) (ax   b) dx   c a   1  2.            dx   1 ln ax   b   c ax   b   a  3.          ax   b   ax   b 1 e   dx   e a  4.               x   1 a   dx   ln   x   c  5.              1 cos(ax   b)dx   sin(ax   b)   c a  6.              1 sin(ax   b)dx   cos(ax   b)   c a  7.             2  dx   1 tan(ax   b)   c a cos (ax   b)             2  dx   1 8.   cot(ax   b)   c a sin (ax   b) 1 9. tan(ax   b)dx   ln cos(ax   b)   c a                           1 10. cot(ax   b)dx   ln sin(ax   b)   c a  11.            2   2  dx   1   x   a ln   c 2a   x   a x   a  B        Baøi 1:   CAO ÑAÚNG KHOÁI A, B, D NAÊM 2011 Tính tích phaân 2 1  2x   1 I   dx x(x   1)         Giaûi  I = 2 1  (x   1)   xdx x(x   1)          = 2 1  1   1 dx x   1   x                    =     2 1  6 ln x(x   1)   ln   ln3 2           .  Baøi 2:   CAO ÑAÚNG KHOÁI A, B, D NAÊM 2010 Tính tích phaân:        1 0  2x   1 I   dx x   1  Giaûi        1 0  2x   1 I   dx x   1  =                  1 0  3 2   dx x   1   =           1 0  2x   3ln x   1   = 2      3ln2.  Baøi 3:   CAO ÑAÚNG GTVT III KHOÁI A NAÊM 2007 Tính caùc tích phaân sau:                  2   4   3   2 2 1  x   x   3x   2x   2 I   dx x   x  Giaûi  Chia töû cho maãu, ta ñöôïc:

Phương pháp giải các bài toán Tích phân – Trung tâm LTĐH Vĩnh Viễn

Bài tập Tích phân   Trần Sĩ Tùng  Trang   34  TP5: TÍCH PHÂN TỔ HỢP NHIỀU HÀM SỐ  Câu 1. x   x I   x e   dx x  3  1   4 2 0   1                           x   x I   x e   dx   dx x  3  1   1   4 2 0   0   1                .  +   Tính x  I   x e   dx  3  1   2 1 0        . Đặt t   x 3     t   t  I   e dt   e   e  1   1 1   0 0  1   1   1   1 3   3   3   3               .  +   Tính x I   dx x  1   4 2 0   1          . Đặt t   x 4     t I   dt t  1   4 2   2 0  2 4   4   3   4 1                             Vậy: I   e  1   3 3           Câu 2. x   x I   x   e   dx x  2   2 3 1  4                          x  I   xe dx  2 1        + x   dx x  2   2 2 1  4        .  +   Tính x  I   xe dx   e  2   2 1 1         +   Tính x I   dx x  2   2 2   2 1  4          . Đặt x   t 2sin    , t   0; 2                 .   t I   dt   t   t t  2 2   2 2   2 6 6  cos   (   cot   ) sin                 = 3   3     Vậy: I   e 2   3   3            .  Câu 3.     x x I   e   x   x   dx x  1   2   2   2 2 0  .   4   . 4              x   x I   x e   dx   dx   I   I x  1   1   3 2 1   2 2 0   0   4                   +   Tính x   e I   x e   dx  1   2 2 1 0  1 4         +   Tính x I   dx x  1   3 2   2 0   4        . Đặt t   x 2  4       I 2  16 3   3   3        e I  2   61 3   3 4   12          Câu 4. x x I   e dx x  1   2 2 0  1 (   1)        Trần Sĩ Tùng   Bài tập   Tích phân  Trang   35      t   x   dx   dt 1           t   t t   t I   e   dt   e   dt t t   t  2   2 2   1   1 2   2 1   1  2   2   2   2 1                                      = e e   e e  2  2 1   1 2                                Câu 5. x  x   e   dx I x  2  3   3   1 2 0  . 1             t   x   dx   tdt 2  1             t  I   t   e dt  2   2 1  (   1)      t   t  t e dt   e   J   e   e  2   2   2 1  2   (   ) 1                 + t   t   t   t   t   t   t  J   t e dt   t e   te dt   e   e   te   e dt   e   e   te   e  2   2   2 2   2   2   2 1   1   1  2   2   2 2   4   2   4   2(   ) 1   1   1                                                          Vậy: I   e 2    Câu 6. x   x   x I   dx x  2   3 2  ln(   1) 1                Ta có: x   x   x x   x   x   x   x f x   x x   x   x   x  2   2   2 2   2   2   2  ln(   1)   (   1)   ln(   1) ( )   1   1   1   1                                     F x   f x dx   x   d x   xdx   d   x 2   2   2 1   1 ( )   ( )   ln(   1) (   1)   ln(   1) 2   2                                = x   x   x   C 2   2   2   2 1   1   1 ln (   1)   ln(   1) 4   2   2                 .  Câu 7.     x   x   x I   dx x  4   2   3 2 0  ln   9   3 9                         x   x   x   x   x   x I   dx   dx   dx   I   I x   x   x  4   4   4 2   3   2   3 1   2 2   2   2 0   0   0  ln   9   3   ln   9   3   3 9   9   9                                            +   Tính     x   x I   dx x  4   2 1   2 0  ln   9 9            . Đặt     x   x   u 2  ln   9          du   dx x 2  1 9      u I   udu  ln 9   2   2   2 1 ln3  ln 9   ln 3 ln 9 ln 3 2   2            +   Tính x I   dx x  4   3 2   2 0   9        . Đặt x   v 2   9       x dv   dx   x   v x  2   2 2   ,   9 9            u I   u   du   u  5   3 2 2 3  44 5 (   9)   (   9 ) 3 3   3                 Vậy     x   x   x I   dx   I   I x  4   2   3   2   2 1   2 2 0  ln   9   3   ln   9   ln 3 3   44 2 9                              .  Câu 8. e   x   x   x I   dx x   x  3   2 1  (   1)ln   2   1 2   ln                e   e   x I   x dx   dx x   x  2 1   1  1   ln 2   ln                .   + e e   x   e x dx  3   3 2 1 1  1 3   3       

31 bài tập Tích phân tổ hợp nhiều hàm số có lời giải – Trần Sĩ Tùng

Trần Sĩ Tùng   Bài tập   Tích phân  Trang   11  TP3: TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC  Dạng 1: Biến đổi lượng giác  Câu 1. x   x I   dx x   x  2  8cos   sin 2   3 sin   cos                 x   x   x I   dx   x   x   x   x   dx x   x  2  (sin   cos   )   4 cos2   sin   cos   4(sin   cos sin   cos                                  x   x   C 3cos   5sin         .  Câu 2. x   x   x I   dx x  cot   tan   2 tan 2 sin 4              Ta có: x   x   x   x I   dx   dx   dx   C x   x   x x 2  2 cot 2   2 tan 2   2 cot 4   cos 4   1 2 sin 4   sin 4   2sin 4 sin   4                        Câu 3. x I   dx x   x  2  cos   8 sin 2   cos2   2                             Ta có : x I   dx x  1   cos 2 1   4 2   2   1   sin   2   4                                         x   dx dx x   x   x  2  cos 2 1   4 2   2   1   sin   2   sin   cos 4   8   8                                                                                                                               x   dx dx x   x 2  cos 2 1   1 4 2   3 2   2   1   sin 2   sin 4   8                                                                                      x   x   C  1   3 ln 1   sin 2   cot 4   8 4   2                                                               Câu 4. dx I   x   x  3  2   3 sin   cos                dx I x  3  1 2   1   cos   3                             = dx I   x 2 3  1 4   2sin   2   6                          = 1 4   3   .  Câu 5. I   dx x  6 0  1 2sin   3              Ta có: I   dx   dx x   x  6   6 0   0  1 1   1   2 2   sin   sin   sin   sin 3   3                   Bài tập Tích phân   Trần Sĩ Tùng  Trang   12 x   x dx   dx x   x x  6   6 0   0  cos cos   2   6   2   6 3 sin   sin   2 cos   .sin 3   2   6   2   6                                                                                                            x   x dx   dx x   x  6   6 0   0  cos   sin 2   6   2   6 1   1 2   2 sin   cos 2   6   2   6                                                                                      x   x  6   6 0   0  ln sin   ln cos   ..... 2   6   2   6                                                   Câu 6. I   x   x   x   x dx  2   4   4   6   6 0  (sin   cos   )(sin   cos   )              .     Ta có: x   x   x   x 4   4   6   6  (sin   cos   )(sin   cos   )     x   x  33   7   3 cos 4   cos8 64   16   64            I   33 128      .  Câu 7. I   x   x   x dx  2   4   4 0  cos2 (sin   cos   )           I   x   x   dx   x   d   x  2   2 2   2 0   0  1   1   1 cos2   1   sin   2   1   sin   2   (sin 2 )   0 2   2   2                                                      Câu 8. I   x   x dx  2   3   2 0  (cos   1) cos   .             A =     xdx   x   d   x  2   2   2 5   2 0   0  cos   1   sin   (sin   )               = 8 15  B = x dx   x dx  2   2 2 0   0  1 cos   .   (1   cos2 ). 2               = 4    Vậy I = 8 15    4     .  Câu 9. 2   2 0  I   cos   cos 2 x   xdx          I   x   xdx   x   xdx   x   x dx  2   2   2 2 0   0   0  1   1 cos   cos2   (1   cos2 ) cos2   (1   2 cos2   cos 4 ) 2   4                             x   x   x   2 0  1   1 (   sin 2   sin 4 ) 4   4   8                 Câu 10. x I   dx x  3 2 0  4sin 1   cos        

64 bài tập Tích phân hàm lượng giác có lời giải – Trần Sĩ Tùng

CHUYÊN Đ   TÍCH PHÂN  Dùng cho h  -        HUEÁ, 01/2013  Don't try to fix the students, fix ourselves first. The good teacher makes the poor  student good and the good student superior. When our students fail, we, as t eachers,  too, have failed.LUY        CH      CHUYÊN Đ    Gv: Ths.Tr         SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HU   1  M   Trang  A. NGUYÊN HÀM ................................ ................................ ................................ .....................   3  B. TÍCH PHÂN   ................................ ................................ ................................ ..........................   4  C. PHÂN LO    PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN:   ................................ ...................   6  V        ( ) n  t   f x    ................................ ................................ ...........   6  V          GIÁC HÓA   .......................   11  D    2   2  a   x    ................................ ................................ ................................ .............   11  D    2   2  x   a    ................................ ................................ ................................ .............   14  D    2   2  x   a    ................................ ................................ ................................ .............   14  D    hoaëc  a   x   a   x a   x   a   x            ................................ ................................ .........................   18  V           ................................ ................................ ...........   19  D            ................................ ............................   19  D    sin   cos  dx a   x   b   x   c        ................................ ................................ ..   23  D    2   2  sin   sin   cos   cos  dx a   x   b   x   x   c   x        ................................ ...............   24  D    1   2  (sin   )cos   ;   (cos   )sin I   f   x   xdx   I   f   x   xdx           ............................   25  1. Tích phân có d    sin   .cos m   n  x   xdx    ................................ ................................ ..........   26  2. Tích phân d    1   1  sin   os ;   ;   , os   sin  m   m n   n  x   c   x I   dx   I   dx   m n c   x   x                    ................................ ..   27  D  ng 5: Tích phân ch              tan   ;cos   ;   cot   ;sin x   x dx   x   x dx       ................................ ............   28  D        ................................ ................................ ................................ .....   29  V            ................................ ..........   39  V        ................................ ................................ ............   42  V            ................................ .......................   50  V        ................................ ................................ .............   58  V      .....................   69  V        V    ................................ ..................   77  M      ................................ ................................   83  D. PH  ................................ ................................ ................................ .............................   95

Chuyên đề Tích phân – Thầy Trần Đình Cư – TP Huế

NGUY  N B  O VƯƠNG  T  NG BIÊN SO  N VÀ T  NG H  P  PHI  U 1. NGUYÊN HÀM  TÀI LI  U ÔN T  P VÀ GI  NG D  Y  GIÁO VIÊN MU  N MUA FILE WORD LIÊN H   094679848 9Nguy  n B    SĐT: 0946798489  1  Giáo viên mu  n mua file word liên h    0946798489  D  ng 1. Tìm nguyên hàm b   Phương pháp :     tìm nguyên hàm f(x)dx    , ta phân tích 1   1   2   2   n   n f(x)   k .f (x)   k .f (x)   ...   k .f (x)            Trong đó: 1   2   n f (x), f (x),...,f (x)   có trong b  ng nguyên hàm ho  c ta d    dàng tìm đượ c nguyên hàm  Khi đó: 1   1   2   2   n   n f(x)dx   k   f (x)dx   k   f (x)dx   ...   k   f (x)dx                       .  Ví d    1.1.5   Tìm nguyên hàm: 2  2x   x   1 I   dx x   1           3  x   1 J   dx x   1        3  1 K   x   dx x                     L  i gi  i. 1.   Ta có: 2  2x   x   1   4 2x   3 x   1   x   1                    Suy ra 2 4 I   (2x   3   )dx   x   3x   4ln x   1   C x   1                           2.   Ta có: 3   3   2 x   1   x   1   2   2 x   x   1 x   1   x   1   x   1                              Suy ra 3   2 2   2   x   x J   x   x   1   dx   x   2ln x   1   C x   1   3   2                                              3.   Ta có : 3 3 3  1   3   1 x   x   3x x   x   x                            Suy ra 4   2 3 3   2  3   1   x   3x   1 K   x   3x   dx   3ln x   C x   4   2 x   2x                                           .  D  ng 2. Tìm nguyên hàm b  i bi  n s   Phương pháp :   u           f x dx   F x   C        thì                         f u x   .u' x dx   F u x   C          Gi    s    ta c  n tìm h    nguyên hàm     I   f x dx       , trong đó ta có thể   phân tích

Tổng hợp 980 câu trắc nghiệm nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Nguyễn Bảo Vương

L        TH   Nh   Q. Tân Phú và Q. Gò V    Tp. HCM  SĐT: 098 843 9630  Tuy    câu h   tr   Nguyên hàm - Tích phân  GV . Phan Trung Hi    Niên khoá 2016      2017   Lưu hành n Tuy    Nguyên hàm - Tích phân  1   GV . Phan Trung Hi  u  DĐ: 098 843 9630  Facebook: Hieu Pt.  Nh  n d  y Toán 10 - 11 - 12 t  i qu  n Tân Phú & Gò V  p  L  i nói đ  u  Tài li  u   này     c t  ng h  p và sàng l  c t    các cu  n sách đư  c li  t kê bên dư  i và   t   m  t s    ngu  n tham kh  o trên internet.   Các câu h  i     c chia thành 3 c  p đ  :   Thân  thương ,   Quen thu  c   và   L    phù h  p v  i th  i gian c  a hình th  c thi tr  c nghi  m .   Hy v  ng  tài li  u này s    giúp ích đư  c cho giáo viên trong vi  c ra đ    thi và các em h  c sinh trong  vi  c h  c t  p v    chuyên đ    Nguyên hàm - Tích phân.  [1]   Ph  m Hoàng Quân, Nguy  n Sơn Hà, Ph  m S    Nam, Hoàng Đ  c Nguyên,     n tr  c  nghi  m thi THPT QG năm 2017 , NXB ĐHSP, 2016.  [2]   Nguy  n Phú Khánh, Hu  nh Đ  c Khánh,   Câu h  i & bài t  p tr  c nghi  m Toán 12 , NXB    i, 2016.  [3]     nh, Ph  m Kh  c Ban, Doãn Minh C   ng, Nguy  n Kh  c Minh,   Tr  c nghi  m Toán  12 , NXB Giáo d  c Vi  t Nam, 2016.  [4]   Nguy  n Văn Nho,   Tuy  n ch  n các bài toán tr  c nghi  m khách quan T    h  p, Xác su  t, Tích  phân và S    ph  c , NXB ĐHQG Hà N  i, 2016.  [5]   Lê Kim Long,   Hư  ng d  n ôn t  p kì thi THPT QG môn Toán , NXB Bách khoa Hà N  i, 2016.  [6]   Ph  m Đ  c Tài,   B        tr  c nghi  m luy  n thi THPT QG năm 2 017 môn Toán , NXB Giáo d  c  Vi  t Nam, 2016.  [7]   Lương Đ  c Tr  ng, Nguy  n Như Th  ng, Ki  u Trung Th  y,     n thi tr  c nghi  m THPT  năm 2017 môn Toán , NXB ĐHQG Hà N  i, 2016.  [8]   Nguy  n Bá Tu  n,   Tuy  n t  p đ    thi & phương pháp gi  i nhanh Toán tr  c nghi  m , NXB   HQG Hà N  i, 2016.  [ 9 ]   M  n Ng  c Quang,   Luy  n t  c đ    gi  i nhanh tr  c nghi  m Toán h  c , NXB Thanh Hóa, 2016.  [10]       B  ng, Lê Đ  c Phúc, Lê M  u Th  ng,   Hư  ng d  n gi  i toán Gi  i tích 12 , NXB Giáo  d  c Vi  t Nam, 2010.  [11]   Phan Huy Kh  i,   Tr  ng tâm ki  n th  c v   p Gi  i tích 12 , NXB Giáo d  c Vi  t Nam,  2009.  [12]   Lương M  u D    Rèn luy  n k    năng gi  i bài t  p t    lu  n và tr  c nghi  m Gi  i tích 12 , NXB  Giáo d  c Vi  t Nam, 2008.  [13]   Lê M  u Th  o, Lê M  u An Bình,   Phương pháp gi  i toán Gi  i tích 12 , NXB Giáo d  c Vi  t  Nam, 2008.  [14]   Tr  n Bá Hà,   Phương pháp gi  i và bài t  p tr  c nghi  m Gi  i tích 12 , NXB Giáo d  c Vi  t  Nam, 2008.  [15]   Bùi Xuân Tùng,   420 bài toán hay và khó Gi  i tích 12 , NXB ĐHQG Tp. HCM, 2010.  [16]   Nguy  n Quang Thái, Tr  n Minh Đ  c,   B  i dư  ng Đ  i s    và G i  i tích 12 , NXB ĐHQG Hà  N  i, 2008.  [17]   Nguy  n Văn Phư  c,   B        thi tr  c nghi  m khách quan Toán 12 ,   NXB ĐHQG Tp. HCM,  2007.  [18]     u Th    C  p,   Phương pháp gi  i nhanh các câu h  i và bài t  p tr  c nghi  m môn Toán , NXB  

Tuyển chọn 280 câu hỏi trắc nghiệm nguyên hàm – tích phân – Phan Trung Hiếu

Nguy  n Ti  n Chinh – Vinastudy.vn   Tr  c nghi  m nguyên hàm – Tích Phân  15 Phó Đứ c Chính ho  c 135 Nguy  n Chí Thanh -      1  Chuyên đề 5    Câu 1:   Bi          f (x)   sin   x   x   . 2   3   2          Giá tr    //  F     2                  là? A.    2  3  1   4     B.    2  3  1   4     C.    2  3  4     D.    2  3  4  Câu 2:   Nguyên hàm c      f (x)   x   x 2  1       là?  A.       F(x)   x   C  3 2 1   1 3           B.       F(x)   x   C  3 2 1   1 3          C.   F(x)   x   C 2  1          D.       F(x)   x   C  3 2 1   1 2          Câu 3:   Nguyên hàm c      x  f (x)   xe 2     là? A.   x  F(x)   (   x   )e   C 2  2   1          B.   x  F(x)   (   x   )e   C 2 1 2   1 4          C.   x  F(x)   ( x   )e   C 2  1          D.   x  F(x)   ( x   )e   C 2  1         Câu 4:   Giá tr    x   x   dx  x  2   2 1  3      là?  A.   3  2     B.   3  2   C. 3   D. –2  Câu 5:   Di  h hình ph  3    2   +1 và (D): y = 1 là?  A. 3   B.   13  2   C. 9   D.   27  4  Câu 6:   Th    2    quanh tr    là? A.   1  6     B.   1  6   C.   1  30   D.     30  Câu 7:   M     th      A. 10m   B. 20m   C. 30m   D. 40m  Câu 8.   Giá tr    x dx  I x  7   3 3   2 0   1           a  b . Khi đó giá trị của a -7b b   A.   2   B.   0   C.   1   D.   -1  Câu 9.   Cho hình ph    y   x , y   x       . Quay xung quanh tr   tròn xoay t     A.     6   B.     3   C.      D.     4  Câu 10.   Công th     A.  b   a a   b  k. f (x)dx   f (x) kdx        B.  b   b a   a  k. f ( x)dx   k   f ( x)dx     Nguy  n Ti  n Chinh – Vinastudy.vn   Tr  c nghi  m nguyên hàm – Tích Phân  15 Phó Đứ c Chính ho  c 135 Nguy  n Chí Thanh -      2  C.  b   a a   b  k. f ( x)dx   k   f (x)dx        D.  b   b a   a  k. f ( x)dx   k   f (x)dx       Câu 11.   Di           x    0   2      A.   5   B.   3   C.   4   D.   4  Câu 12.   Cho   M   x .   x dx 2   3  4        ch   A.       M   x   C  3 3 2   4 9           B.       M   x   C  3 3  2   4         C.   M   x   C 3  2   4          D.       M   x   C  3 3 1   4 9          Câu 13.   Cho  dx  A   x(x   )  1 1 2  1          . K   A.   0<A<1   B.   1<A<2   C.   A<0   D.   2<A<3  Câu 14.   Bi   ln m   x x  e dx   ln e 0  2  2         Khi đó giá trị m l   A.   1   B.   2   C.   3   D.   4  Câu 15.   G        x f (x) x 2  8      th       có nghi    A.   1   3    B.   1   C.   -1   D.   0  Câu 16 : Tìm nguyên hàm c      x x  4 2  2   3   A.   x   x dx   C x x  4   3 2  2   3   2   3 3               B.   x   x dx   C x x  4   3 2  2   3   2   3 3              C.   x   x dx   C x   x  4 2   3  2   3   2   3 3               D.   x   x dx   C x   x  4 2   3  2   3   2   3 3              Câu 17 : Tính tích phân  e   ln x I   dx x(lnx   ) 2 1   2         A.   I   l n  1   3  3   2        B.   I   l n  1   3  3   2        C.   I   l n  1   3  3   2        D.   I   l n  1   3  3   2       Câu 18 : Tính tích phân   s inx  I   (e   cos x)cos xdx.    2 0        A.   I   e      1  4           B.   I   e      1  4           C.   I   e      1  4           D.   I   e      1  4          Câu 19 :Di        y   f (x)    liên t    a; b           ,tr     h    x   a, x   b       có công th  

321 bài toán trắc nghiệm nguyên hàm, tích phân – Nguyễn Tiến Chinh

CHUYÊN ĐỀ: BÀI TOÁN THỰC TẾ 2017  Biên so  n: Vũ H  ng Quý - Fb:   https://www.facebook.com/vuhongquy.maths   Trang   1  Bài toán 1.   Cho hình vuông   có c  nh b  ng   . T  i b  n   nh   ng    i ta v    l  t b  ng tròn có bán kính b  ng nhau và b  ng   . Tính th    tích ph  n    c tô màu khi quay hình ph  ng xung quanh tr  c   .  A.           .   B.         .  C.           .   D.         .  Bài toán 2.   M  t hình xuy  n d  . Tính th    tích c    và   .  A.     .   B.     .   C.     .   D.     .  Bài toán 3.   Cho m  t kh  i ch  m c  u       có bán kính   và chi  u cao   .   Tính th    tích   c  a kh  i ch  m c  u      A.                   B.                   C.                   D.                    NG D  NG TÍCH PHÂN  Biên so  n: Vũ H  ng Quý  R  rCHUYÊN ĐỀ: BÀI TOÁN THỰC TẾ 2017  Biên so  n: Vũ H  ng Quý - Fb:   https://www.facebook.com/vuhongquy.maths   Trang   2  Bài toán 4 (S    GD Hà Tĩnh).   Ta v    n   v    bên, trong đó đườ ng kính c  ng tròn l  n g   ng kính c  a n  ng tròn nh  . Bi  t r  ng n  a hình tròn   ng kính   có di  n tích là    và    . Tính th   tích v  t th    tròn xoay đượ c t  o thành khi quay hình ph  ng      (ph  ng th  ng   .  A.    .   B.    .  C.    .   D.    .  Bài toán 5 (Qu  c h  c Hu  -L2).   Ngườ i ta d  ng m  t cái l  u v  i       có d   hình v    bên. Đáy củ a       là m  t hình l  u c  nh  . Chi  u cao    (   vuông góc v  i m  t ph  ng     Các   cạ nh   bên   c  a       là   các   s  i   dây  n  ng parabol có tr  c   i x  ng song song v  i   . Gi    s    giao tuy  n (n  u có) c  a       v  i m  t ph  ng       qua trung điể m c  a   thì l  c giá c đề u có c  nh   . Tính th    tích ph  n không gian n  m bên trong cái l  u         A.       .   B.       .  C.       .   D.       .  Bài toán 6 (S    GD Vĩnh Phúc):   M  c có d  ng hình tr   có chi  u cao   h   và bán kính đáy bằ ng   . Khi đặt thùng nướ c n  m ngang  như hình   thì kho  ng cách t    tr  c hình tr    t  i m  c b  ng  (m  c th  c c  a hình tr  c th  ng  như hình   thì chi  u cao c  a m  c trong thùng là   . Tính t    s   .  A.     .   B.     C .     D.  Hình 2  Hình 1

Hướng dẫn giải một số bài toán nâng cao về ứng dụng của tích phân – Vũ Hồng Quý

NGUYỄN NGỌC DŨNG – TẠ NGUYỄN ĐÌNH ĐĂNG VƯƠNG PHÚ QUÝ – NGUYỄN VIẾT SINH  BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM  GIẢI TÍCH   12  Chương 3  NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG  Tài liệu lưu hành nội bộ

Bài tập trắc nghiệm nguyên hàm, tích phân và ứng dụng có đáp án

Nguyên hàm và tích phân     Nguyễn Chiến   chienmath43@gmail.com  Nguyễn Chiến:   0973.514.674   1  NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN -     I. NGUYÊN HÀM 1. Nguyên hàm     Cho hàm s       f   x   xác đị nh trên K   ( K   là kho  n hay n  a kho  ng). Hàm s       F   x   c g  i là nguyên hàm c  a hàm s       f   x   trên K   n  u            ' F   x   f   x    v  i m  i x   K    . Kí hi  u:            x f   x d   F   x   C        .   nh lí:  1)   Nếu      F   x   là một nguyên hàm của      f   x   trên K   thì với mỗi hằng số C   , hàm số            G x   F   x   C      cũng là một nguyên hàm của      f   x   trên K   . 2)   Nếu      F   x   là một nguyên hàm của hàm số      f   x   trên K   thì mọi nguyên hàm của      f   x   trên K        F   x   C    , với C   là m   Do đó      , F   x   C C       là h    t  t c    các nguyên hàm c  a      f   x   trên K   .  2. Tính ch  t c  a nguyên hàm                  x f   x d   f   x      và            '   x f   x d   f   x   C        ;                dx   dx d   f   x   f   x       Nếu F(x) có đạo hàm thì:      ( )   ( ) d   F x   F x   C                   x   x kf   x d   k   f   x d        với k   là hằng số khác 0   .                          x   x   x f   x   g x   d   f   x d   g x d                           Công thức đổi biến số:   Cho      y   f   u    và      . u   g x   Nếu ( )   ( ) f   x dx   F x   C        thì      ( )   '( )   ( ) f   g x   g   x dx   f u du      ( ) F u   C      3. S    t  n t  i c  a nguyên hàm   nh lí:   M  i hàm s       f   x   liên t  c trên K    u có nguyên hàm trên K   .Nguyên hàm và tích phân     Nguyễn Chiến   chienmath43@gmail.com  Nguyễn Chiến:   0973.514.674   2  B  NG NGUYÊN HÀM CÁC HÀM S    THƢỜ NG G  P  1. 0 dx   C     2. dx   x   C       3.      1 1   1 1  x dx   x   C                      16.           1  1 dx   ,   1 1  ax   b ax   b   c a                        4. 2  1   1  dx   C x   x         17.      2  1   1   1 . dx   C a ax   b ax   b            5. 1   ln dx   x   C x          18. 1 ln  dx   ax   b   C ax   b   a            6. x   x  e dx   e   C        19. 1 ax   b   ax   b  e   dx   e   C a             7. ln  x x   a a dx   C a         20. 1 ln  kx   b kx   b   a a   dx   C k   a            8. cos   sin xdx   x   C        21.            1 cos   sin ax   b dx   ax   b   C a              9. sin   cos xdx   x   C        22.            1 sin   cos ax   b dx   ax   b   C a              10. tan .   ln | cos   | x dx   x   C        23.            1 tan   ln cos ax   b dx   ax   b   C a              11. cot   .   ln | sin   | x dx   x   C        24.            1 cot   ln sin ax   b dx   ax   b   C a              12. 2  1   tan cos   dx   x   C x          25.            2  1   1 tan cos   dx   ax   b   C ax   b   a            13. 2  1   cot sin   dx   x   C x          26.            2  1   1 cot sin   dx   ax   b   C ax   b   a            14.      2  1   tan   tan x dx   x   C           27.                2   1 1   tan   tan ax   b   dx   ax   b   C a                 15.      2  1   cot   cot x dx   x   C           28.                2   1 1   cot   cot ax   b   dx   ax   b   C a                 B  NG NGUYÊN HÀM M    R  NG 2   2  1 arctan  dx   x   C a   x   a   a        2   2  arcsin   arcsin  x   x dx   x   a   x   C a   a             2   2  1 ln 2  dx   a   x   C a   x   a   a   x            2   2  arccos   arccos  x   x dx   x   a   x   C a   a                  2   2 2   2   ln  dx   x   x   a   C x   a                     2   2  arctan   arctan   ln 2  x   x   a dx   x   a   x   C a   a             2   2   arcsin  dx   x   C a a   x               2   2  arccot   arc cot   ln 2  x   x   a dx   x   a   x   C a   a             2   2  1 arccos  dx   x   C a   a x   x   a               1 ln tan sin   2  dx   ax   b   C ax   b   a         2   2 2   2  1 ln  dx   a   x   a   C a   x x   x   a                  1 ln tan sin   2  dx   ax   b   C ax   b   a                    ln   ln  b ax   b dx   x   ax   b   x   c a                                    2   2  cos   sin cos  ax ax   e   a   bx   b   bx e   bx dx   C a   b         2   2   2 2   2   dx   arcsin 2   2  x   a   x   a   x a   x   C a                   2   2  sin   cos sin  ax ax   e   a   bx   b   bx e   bx dx   C a   b        

Chuyên đề tự luận nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Nguyễn Chiến

L  i V  n T  n    T: 0973056109   u t  t nh  t ch     n v  i nh  ng ng  t c    g   https://www.facebook.com/thaygiaoton   Trang 1  https://www.youtube.com/c/TonLai  M  C L  C  TÀI LIỆ U THAM KH  O ................................................................................................................................................ 1  1.      ............................................................................................................................. 2  2.   N GUYÊN HÀM CỦA CÁC HÀM SƠ CẤ P.......................................................................................................... 2  2.1.   B  p ......................................................................................................... 2  2.2.   Các ví dụ   minh h  a ...................................................................................................................................... 2  3.   CÁC   TÍNH CHẤ T C    ............................................................................................................ 3  4.   TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH   ........................................................................ 3  4.1.   Các công thứ c, k    năng phân tích cầ n nh    ......................................................................................... 3  4.2.   Các dạng phân tích cơ bả n ........................................................................................................................ 4  4.2.1.   Bi    d  n .................................................... 4  4.2.2.   Phân tích hàm hữ u t  .......................................................................................................................... 6  4.2.3.   Phân tích hàm lượng giác ................................................................................................................. 8  4.2.4.   Phân tích hàm siêu việ t ................................................................................................................... 10  5.   TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔ I BI  N........................................................................... 11  5.1.   M  t s    ví dụ   m     u v    phương pháp đổ i bi  n.............................................................................. 12  5.2.    i bi  u t    - logarit. ............................................. 13  5.3.    i bi    ......................................................................................................................... 17  5.4.    i bi   ...................................................................................................................................... 20  6.   TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪ NG PH  N ...................................... 23  6.1.   Lý thuyết nguyên hàm từ ng ph  n ....................................................................................................... 23  6.2.   Các ví dụ   minh h  a .................................................................................................................................... 24  7.   GI  I THI  U M  T S    BÀI TẬP ĐỊ NH D  NG TR  C NGHI  M ............................................................... 27  7.1.   Các câu hỏi lý thuyế t ................................................................................................................................. 27  7.2.   Tìm nguyên hàm cụ   th    ........................................................................................................................... 30  7.3.   Tìm một nguyên hàm riêng, tính giá trị   c  c ....................................... 41  TÀI LIỆ U THAM KH  O  Lê Hồ ng    c, L. H. (2006).  Phương pháp giải toán Tích Phân.  Nguy    Minh, (2017).  Phân loạ i d    -   Tích Phân (tậ p 1). Internet. Tuy  n t    thi th    minh h    chính thứ c c  a b    GD và ĐT.L  i V  n T  n    T: 0973056109   u t  t nh  t ch     n v  i nh  ng ng  t c    g   https://www.facebook.com/thaygiaoton   Trang 2  https://www.youtube.com/c/TonLai  A:   NGUYÊN HÀM  (chương trình cơ bả n) 1.    Nh  c l  i: n  c g  a F(x). Th    thì hàm F(x) gọi là nguyên hàm củ a f(x)   nh   nghĩa:   Hàm F(x) đượ c g  u     (𝑥) = 𝑓(𝑥)  Ví dụ : +, H  2       3  3    2   + 3𝑥 + 2016 𝑣ì    (𝑥) = 𝑥 2     +, H     + 3 𝑐ó 𝑚ộ𝑡 𝑛𝑔𝑢𝑦ê𝑛 ℎà𝑚 𝑙à ℎà𝑚 𝐹(𝑥) = 𝑒    + 3𝑥 + 1999 𝑣ì    (𝑥) = 𝑒    + 3 = 𝑓(𝑥)  +, H    1 3       (𝑥) = 𝑐𝑜𝑠3𝑥 = 𝑓(𝑥)  -   Kí hiệu nguyên hàm của hàm f(x) là ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶, 𝐶 ∈ ℝ     Nh  +, N  a f(x) +, M  u t  n t    nguyên hàm   khi thay C b  i m    c    th  . 2.   NGUYÊN HÀM CỦA CÁC HÀM SƠ CẤ P 2.1.   B  p  Hàm lũy th             =     + 1   + 1   +             1        =   ln |  |   +    H   +,            =      +     i k∈ℝ (3) +,      0      =     Hàm mũ             =      ln      +      H            =       +     Hàm lư  ng giác     sin         =      cos      +        1  sin 2         =      cot      +        cos         =   sin      +         1  cos 2         =   tan      +     H       cot 2         =      cot            +        tan 2         =   tan            +       nh lí: n  u      thì ∫ 𝑓(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑑𝑥 =   1     , v    (10) 2.2.   Các ví dụ   minh h  a 1/    3     4  4   + 𝐶   ( công thứ c 1) 2/          1        + 𝐶   ( công thứ c 1)

Chuyên đề nguyên hàm – Lại Văn Tôn

A.   KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.   Tính chất nguyên hàm, tích phân thường sử dụng  1.             d f   x   x   f   x   C           2.   d   d u v   uv   v u           3.                       d   d f   u   x   u   x   x   f   u   u          4.             2   d   0   0  b a f   x   x   f   x           . Tổng quát:                               0   ;   ,   0   0,   ;  b a f   x   x   a b   f   x dx   f   x   x   a b                   2.   Nhị thức Niuton        0   1   1   ...   ...  n   n   n   k   n   k   k   n   n n   n   n   n x   y   C x   C x   y   C x   y   C y                            Lưu ý:  B.   BÀI TẬP Bài 1.   Cho hàm số       f   x   xác định trên   1 \   2                    thỏa mãn         2  2   1  f   x   x           ,       0   1 f      và       1   2. f      Giá trị của biểu thức             1   3 f   f      Lời giải  Ta có         2 d   d   ln 2   1 2   1  f   x   x   x   x   C  x                      . Hàm số gián đoạn tại điểm   1 2  x     Nếu              1   ln 2   1 2  x   f   x   x   C                mà       1   2   2 f   C          . Vậy             ln 2   1   2 f   x   x          khi   1 2  x     Nếu              1   ln 1   2 2  x   f   x   x   C                mà       0   1   1 f   C          . Vậy             ln 1   2   1 f   x   x          khi   1 2  x     Do đó             1   3   ln 3   1   ln 5   2   ln15   3. f   f                        Bài 2.   Cho hàm số       y   f   x    xác định trên       \   1;1     và thỏa mãn         2 1 1  f   x   x           . Biết rằng            3   3   0 f   f          . Tính                   2   0   4 T   f   f   f             .  Lời giải  Ta có:              d f   x   f   x   x        2 1   d 1   x  x         1   1   1   d 2   1   1   x  x   x                          1   1   1 d   d 2   1   1  x   x  x   x                            1   1 ln 2   1  x   C x          .  CHUYÊN ĐỀ TÍNH GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ KHI CHO TRƯỚC CÁC TÍCH PHÂN LIÊN QUANDo đó:             3   3   0 f   f          1   1   1 ln 2   ln   0 2   2   2  C   C                                               0 C       . Như vậy:         1   1  ln 2   1  x f   x   x          .        1   2   1  2   ln 2   2   1  f          1 ln 3 2     ;         1   0   1 0   ln   0 2   0   1  f           ;         1   4   1  4   ln 2   4   1  f                         1 ln 5   ln 3 2        . Từ đó:                   2   0   4 T   f   f   f                  1   1 ln 3   0   ln 5   ln 3 2   2              1 ln 5   ln 3 2        .  Bài 3.   Cho hàm số       f   x   xác định trên       \   1;1     thỏa mãn         2 2 1  f   x   x           ,             2   2   0 f   f          và 1   1   2 2   2  f   f                                         . Tính                   3   0   4 f   f   f          .  Lời giải  Ta có               d f   x   f   x   x        2 2 1   d x  x         1   1 1   1   d x  x   x                         1 2 3 1 ln   1 1 1 ln   1   1 1 1 ln   1 1                                                       khi khi khi  x   C   x x x   C   x x x   C   x x  . Khi đó              1   3   1   3 2 2   2 1 2   2   0   ln 3   ln   0   0 3 1   1   1   1 2   ln 3   ln   2 2   2   3                                                                                                               f   f   C   C   C   C C f   f   C   C  Do đó                     1   2   3 3   6 3   0   4   ln 2   ln   ln   1 5   5                              f   f   f   C   C   C   .  Bài 4.   Cho hàm số       f   x   xác định trên       \ 1    thỏa mãn         1  1  f   x   x           ,       0   2017 f      ,       2   2018 f      . Tính             3   1 S   f   f          .  Lời giải  Ta có              1 d   d   ln   1 1  f   x   x   x   x   C  x                    . Theo giả thiết       0   2017 f      ,       2   2018 f      nên                         ln   1   2017   khi   1  ln   1   2018   khi   1  f   x   x   x  f   x   x   x                             . Do đó             3   1 S   f   f          ln 2   2018   ln 2   2017   1                .  Bài 5.   Giả sử hàm số       y   f   x    liên tục, nhận giá trị dương trên       0;      và thỏa mãn điều kiện      1   1 f      ,               3   1 f   x   f   x   x        với mọi   0. x      Tính       2018 f   .  Lời giải  Ta có:              3   1 f   x   f   x   x                 1  3   1  f   x f   x   x                    d d   3   1  f   x   x x f   x   x                       2 ln   3   1 3  f   x   x   C                  2   3   1 3 e   x   C  f   x              . Mặt khác ta lại có       1   1 f      nên 4 3   4 1   e   3  C C            .

Tính giá trị của hàm số khi cho trước các tích phân liên quan

A.   KIẾN THỨC CƠ BẢN  Cho các hàm số       y   f   x    và       y   g   x    có đạo hàm liên tục trên       ; a b   . Khi đó:     Nếu             f   x   g   x    với mọi       ; x   a b    thì              b   b a   a f   x dx   g   x dx        .     Nếu         0 f   x      với mọi       ; x   a b    thì         0  b a f   x dx       . Hệ quả:             2   0   0  b a f   x dx   f   x           .     Bất đẳng thức Holder (Cauchy – Schwarz):                          2 2   2  b   b   b a   a   a f   x g   x dx   f   x dx   g   x dx                          .              f   x   kg   x    với   k         .  B.   BÀI TẬP Câu 1:   Cho hàm số       y   f   x    có đạo hàm liên tục trên       0; 2          2   2 f      ,       2 0 0 xf   x dx       , và        2   2 0 '   10 f   x   dx               . Hãy tính tích phân        2 2 0  I   x f   x dx       ?  Lời giải  Ta có:                          2   2   2 2   2   2   2 0   0   0 2 1   1   1 0   '   '   8 0 2   2   2  f   x dx   x f   x   x f   x dx   x f   x dx                       .  Cách 1:   Kết hợp        2   2 0 '   10 f   x   dx               ,        2 2 0 '   8 x f   x dx       và 2 4 0 32 5  x dx       ta được:                         2 1   1 2   2   4   2   2 0   0 5   25   5.8   25 32   5   5 '   '   10   .   0   '   0   ' 2   16   2   16   5   4   4  f   x   x f   x   x   dx   f   x   x   dx   f   x   x                                                                             .  Cách 2:              2 2   2   2   2 2   4 0   0   0 32 64   '   '   10   64 5  x f   x dx   x dx   f   x   dx                                           . Đẳng thức xảy ra khi:         2 ' f   x   kx    . Vì              2   2 2   4   2 0   0 32   5   5 8   '   ' 5   4   4  x f   x dx   k   x dx   k   k   f   x   x                          . Khi đó:         3 5   4 12   3  x f   x         vì       1   2 f      . Khi đó thay vào tích phân        2 2 0 8 9  I   x f   x dx        .  CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUANCâu 2:   Cho hàm số       y   f   x    có đạo hàm liên tục trên       0;1          1   2 f      ,       1 0 1 3  f   x dx       ,        1   2 0 25 '   3  f   x   dx               . Hãy tính tích phân        1 0  I   xf   x dx       ?  Lời giải  Ta có:                                1   1   1   1 0   0   0   0 1 1   5 '   2   '   ' 0 3   3  f   x dx   xf   x   xf   x dx   xf   x dx   xf   x dx                                .  Cách 1:   Kết hợp        1   2 0 25 '   3  f   x   dx               ,        1 0 5 '   3  xf   x dx       và 1 2 0 1 3  x dx       ta được:                             1   1 2   2 2 0   0 25   50   25 '   10   '   25   0   '   5   0   '   5 3   3   3  f   x   xf   x   x   dx   f   x   x   dx   f   x   x                                                          .  Cách 2:              2 1   1   1   2 2 0   0   0 25   1 25   25 '   ' 9   3 3   9  xf   x dx   x dx   f   x   dx                                           . Đẳng thức xảy ra khi:       ' f   x   kx    . Vì              1   1 2 0   0 5   1 '   5   '   5 3   3  xf   x dx   k   x dx   k   k   f   x   x                          . Khi đó              1   1 2   3 0   0 5   1   5   3 2   2   2   2   8  x   x   x f   x   I   xf   x dx   dx                          .  Câu 3:   Cho hàm số       y   f   x    có đạo hàm liên tục trên   0; 2                          2 2 0 3   f   x dx        ,       0 sin   6 2     x x   x   f   dx                         , và   0 2   f                 . Hãy tính tích phân        2   3 0   I   f   x   dx                ?  Lời giải  Ta có                                2   2 0   0   0 3   sin   sin 2   2   sin 2   2 2   2         x   x    x   x   f   d   x   x   f   x dx   x   x df   x                                                                                              2   2   2 2   2 0   0   0 3 3   sin 2   2   2   1   cos 2   4 sin   sin 2   4 0                x   x   f   x   x   f   x dx   xf   x dx   xf   x dx                                .  Cách 1:   Kết hợp        2 2 0 3   f   x dx        ,        2 2 0 3 sin   4    xf   x dx       và 2 4 0 3 sin   16    xdx       ta được:                             1   1   2 2   2   4   2   2 0   0 8sin   16sin   0   4sin   0   4sin f   x   xf   x   x dx   f   x   x   dx   f   x   x                                    Cách 2:              2 2   2 2   2   2 2   4   2 0   0   0 9   3   9 sin   sin   3 16   16   16                xf   x dx   xdx   f   x dx                                            .

Bất đẳng thức tích phân và một số bài toán liên quan

1  TÍCH PHÂN  I.CÁC   PHƢƠNG   PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1. Tính tích phân b  ng    nh ngh  a ,tính ch  t và b  ng nguyên hàm c    b  n 2.Ph  ng pháp tích phân t  ng ph  n.   nh lí   .   N  u u(x) và v(x) là các hàm s    có    o hàm liên t  c trên     ; a b   thì:     '   '  ( )   ( )   ( ) ( )   ( )   ( )  b   b a   a  b u x v   x dx   u x v x   v x u   x dx a            hay b   b a   a  b udv   uv   vdu a             .   ng công th  c trên ta có qui t  c công th  c tích phân t  ng ph  n sau:     B  c 1: Vi  t f(x)dx d  i d  ng '  udv   uv dx    b  ng cách ch  n m  t ph  n thích h  p c  a f(x) làm u(x) và ph  n còn l  i '   ( )   . dv   v   x dx      B  c 2: Tính '  du   u dx    và '   ( ) v   dv   v   x dx            .     B  c 3: Tính '  b   b a   a  vdu   vu dx         và b uv a   .     B  c 5: Áp d  ng công th  c trên.  Ví d    5:   a)Tính tích phân 3 2 1  3   ln x I   dx (x   1)          (  H-KB-2009) 3   3   3 2   2   2 1   1   1 3 3 1   2 1   1 3 2   2 1  3   ln x   dx   ln x I   dx   3   dx (x   1)   (x   1)   (x   1) dx   3   3 I   3   (x   1)   (x   1)   4 ln x I   dx (x   1)                                             dx du   x      2  dx dv   . (x   1)       Chọn 1 v   x   1       3   3   3   3 2 1   1   1   1  ln x   dx   ln 3   dx   dx   ln 3   3 I   ln x   1   x(x   1)   4   x   x   1   4   2                                  2  Vậy : 3 I   (1   ln 3)   ln 2 4          b) Tính 1  ln  e  x   xdx    Gi  i:    t ln u   x dv   xdx         2  2  dx du   x x v               2   2   2   2 1   1  1   1 ln   ln   1   1 2   2   2   4   4  e   e  e   e x   e   x   e x   xdx   x   xdx                       .  Ví d    6:   Tính các tích phân sau: a) 2 5 1  ln   x dx x    b) 2 0  cos x   xdx       c) 1 0  x  xe dx     d) 2 0  cos x  e   xdx      Gi  i: a)    t 5 4  ln 1   1 4  dx u   x   du   x dv   dx   v x   x                                   . Do    : 2 2 2   2 5   4   5   4 1 1   1   1  ln   ln   1   ln 2   1   1   15   4ln 2 4   4   64   4   4   256  x   x   dx dx x   x   x   x                                     . b)    t cos   sin  u   x   du   dx dv   xdx   v   x                         . Do    :      2   2 0   0  cos   sin   sin   cos   1 2   2 2   2 0   0  x   xdx   x   x   xdx   x                               . c)  t x   x  u   x   du   dx dv   e dx   v   e                         . Do    :      1   1 0   0  1   1   1   1 0   0  x   x   x   x  xe dx   xe   e dx   e   e   e   e                             .

Nguyên hàm - tích phân